Le théorème du cosinus peut être appliqué à l'un ou l'autre côté d'un triangle.
Nous écrivons les formules de chaque côté et trouvons comment appliquer le théorème du cosinus en fonction des conditions du problème.
Le carré de chaque côté du triangle est la somme des carrés des deux autres côtés moins le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare.
Pour triangle ABC
peut être enregistré
dans l'une des trois variantes:
on obtient les trois formules suivantes du théorème du cosinus:
De quel côté du triangle le théorème du cosinus est-il appliqué?
Le théorème du cosinus est appliqué au côté opposé où l'angle est déterminé (c'est-à-dire qu'il est connu ou qu'il faut simplement le trouver).
Ensuite, nous examinerons l’application du théorème du cosinus à la résolution de problèmes.
La formule du théorème du cosinus
Le côté carré du triangle est la somme des carrés des deux autres côtés moins le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle entre eux.
Autrement dit, pour un triangle plat avec les côtés $ a $, $ b $ et $ c $ et l'angle $ alpha $, en regard du côté $ a $, la relation suivante est vraie:
Le théorème du cosinus est une généralisation du théorème de Pythagore. Les énoncés généralisant le théorème de Pythagore et équivalents au théorème du cosinus ont été formulés séparément pour les cas d'un angle aigu et obtus dans les phrases 12 et 13 du deuxième livre du Début du mathématicien grec ancien Euclide (vers 300 av. J.-C.). Des assertions équivalentes au théorème du cosinus pour un triangle sphérique ont été utilisées dans les écrits de mathématiciens en Asie centrale. Le théorème du cosinus pour le triangle sphérique, sous sa forme habituelle, a été formulé par le grand astrologue, astronome et mathématicien allemand Regiomontan (1436 - 1476), l'appelant le "théorème de l'Albathegnia" (nommé - 929).
En Europe, le théorème du cosinus a été popularisé par le mathématicien français François Viet (1540 - 1603) au 16ème siècle. Au début du 19ème siècle, il a commencé à être écrit dans la notation algébrique acceptée à ce jour.
Corollaire au théorème du cosinus
Le théorème du cosinus peut être utilisé pour trouver le cosinus de l'angle d'un triangle:
Si $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2 >> 0 $, l'angle $ alpha $ est aigu,
Si $ b ^ <2> + c ^ <2> -a ^ <2> = 0 $, alors l'angle $ alpha $ est une ligne droite,
La tâche Dans le triangle $ ABC AC = 3, BC = 5 $ et $ AB = 6. $. Trouvez l’angle opposé au côté $ AB $
Solution Selon le corollaire du théorème du cosinus, on a:
$$ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $$
La réponse. $ angle A C B = arccos left (- frac <1> <15> right) $
La tâche Soit un triangle $ ABC $, dont les côtés sont $ AC = 17, BC = 14, angle ACB = 60 ^ < circ> $. Trouvez la longueur du troisième côté du triangle en question.
Solution Selon le théorème du cosinus
$$ A B ^ <2> = A C ^ <2> + B C ^ <2> -2 cdot A C cdot B C cdot cos angle A C B = $$
$$ = 17 ^ <2> + 14 ^ <2> -2 cdot 17 cdot 14 cdot cos 60 ^ < circ> = 289 + 196-238 = 24 $$
